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從硬幣骰子思考閱讀PISA


硬幣

你被要求設計出一套新的硬幣。所有硬幣都是圓形，且顏色都是銀色，但是有不同的直徑。

研究者發現了一個理想的硬幣系統，要符合以下要求：

‧ 硬幣直徑不可小於15毫米，且不可大於45毫米。

‧ 已知一個硬幣的大小後，下一個硬幣的直徑必須比它大至少30%。

‧ 鑄幣機械只能製造出直徑為整數的硬幣。

　（如：可以製造17毫米，但無法製造17.3毫米）。

問題：

請你設計出一套符合上面條件的新硬幣系統。

從一枚15毫米的硬幣開始，而且在你這套新硬幣系統裡，要盡量包含愈多的硬幣，

則這套新硬幣系統裡的硬幣直徑分別為多少？

計分

這題在考學生種能力？／理解與運用複雜訊息做計算

★這樣回答拿滿分，比如：15-20-26-34-45。

可能的作法中包含畫出正確的硬幣直徑來呈現答案，這也要評為滿分。

★這樣拿部分分數，比如：

給一組能滿足3個要求的硬幣直徑，但不是能達到最多硬幣數的組合，

如15-21-29-39，或 15-30-45

或前3個直徑正確，但後2個錯誤（15-20-26-）

或前4個直徑正確，但最後1個錯誤（15-20-26-34-）

★這樣拿零分，比如：其他答案、沒有作答

骰子

問題：

在這張相片中你可以看見六個骰子，分別被標記（a）到（f）。所有骰子都有個規則：每個骰子其任兩個相對的面之點數和都是七。

寫下照片中盒子裡的每個骰子底部的點數為何。

計分

★這樣拿滿分，比如：上列（1 5 4） 下列 （2 6 5）。

以骰子點數圖案表示的答案是可以接受的。

★這樣拿零分，比如：其他答案、沒有作答

答題解析／何明老師

硬幣

PISA數學素養的數學歷程中有三個重點：

1、轉化：將生活情境中的問題轉換成數學模式並驗證數學答案是否能適用於情境。

2、解題：包括計算、數學模式的分析、推理或論證。

3、建模：也就是經過轉化、解題的過程後，確認答案在情境中是否合宜。

本題正可以作為上述歷程的標準範例。

首先必須將題目給予的條件轉化為數學模式，從第一、二條件中可得第一枚硬幣為15mm。第二枚硬幣為15×(1+30%)=19.5mm，19.5mm無 法通過第三個條件「直徑必須為整數」的篩選，故第二枚硬幣直徑應取20mm。同理，第三枚硬幣應為20×(1+30%)=26mm。

詳細的歷程如下表所示：

故所求的硬幣直徑分別為15mm-20mm-26mm-24mm-45mm。

本題解題、推論的關鍵在於直徑增加30%後，應試同學能否在條件三「直徑必須為整數」的限制下無條件進位至整數，方可正確得到下一枚硬幣的尺寸。

骰子

因所有骰子都有任兩個相對的面的點數和均為7點，所以6點的對面為1點，5點的對面為2點，4點的對面為3點。

‧試題來源：OECD、台灣PISA國家研究中心

‧PISA國家研究中心網址：http://pisa.nutn.edu.tw/

【2013-04-22/聯合報】