培養孩子成為未來的人才

從身高曲線思考數學PISA

成長

青少年長得更高了。

下圖顯示1998年荷蘭的年輕男性和女性的平均身高：

問題1：

自1980年以後，20歲女性的平均身高增加了 2.3公分變成 170.6公分。

請問1980年20歲女性的平均身高是多少？

答：_______公分

★這樣回答拿滿分，比如：

168.3公分（已註明單位）

★這樣回答拿零分，比如：

其他答案、沒有作答

問題2：

根據這張圖，哪一段時期女孩的平均身高會比同年齡的男孩高？

★這樣回答拿滿分，比如：

1.寫出正確的時間11-13歲。

‧11-13歲之間。

‧11-13歲時，女孩平均身高比男孩高。

‧11-13

2.指出在11和12歲時，女孩比男孩高。

（以日常用語來說，這個答案是正確的，因為它指的是11歲至13歲這段時期）

‧11和12歲時，女孩比男孩高。

‧11和12歲。

★這樣回答拿部分分數，比如：

其他11、12、13的搭配

（不包含在滿分部分的搭配）。

‧12至13。

‧12

‧13

‧11

‧11.2至12.8。

★這樣回答拿零分，比如：

其他答案

‧1998

‧過了13歲之後，女孩比男孩高。

‧10歲到11歲這段時期，女孩比男孩高。

沒有作答

問題3：

試說明上圖如何呈現出女孩在12歲以後長高的速率變慢。

★這樣回答拿滿分，比如：

此處重點是答案必須提及「女生身高曲線」斜率的「改變」。答案可明確表示或暗示。例如答案明確提及曲線斜度的改變；或答案暗示12歲以前及12歲後實際身高的增高幅度。

1.用日常用語而非數學術語，指出由12歲開始，曲線的斜度減少。

‧它不再向上升，而是往水平方向延伸。

‧曲線變得不那麼傾斜。

‧12歲後，曲線變得更平。

‧「女生身高曲線」開始變平坦，

「男生身高曲線」剛開始增大。

‧它往水平方向延伸，而「男生身高曲線」則持續上升。

2.用數學術語指出由12歲開始，曲線的斜度減少。

‧可以見到，斜率減少。

‧由12歲開始，曲線的改變比率減少。

‧【學生計算12歲前和12歲後，Ｘ軸與曲線之間的角度。】

一般來說，如使用「斜率」、「坡度」或「改變比率」等類似字眼，可視作數學術語。

3.比較真正的增加高度（比較可以不明顯）

‧由10歲到12歲，約增高15公分，但由12歲到20歲，只大約增高了7公分。

‧由10歲到12歲，每年平均增高率約是7.5公分，但由12歲到20歲，每年的平均增高率約為2公分。

★這樣回答拿零分，比如：

1.學生指出女生身高跌至男生身高以下，但沒有提及「女生身高曲線」的斜度，或比較12歲前後女生的成長速度。

‧「女生身高曲線」跌至「男生身高曲線」之下。

若提及「女生身高曲線」的斜度減少，如同圖形呈現降至「男生身高曲線」以下，給予滿分。我們並不要求學生比較男女生的身高曲線，所以不要理會任何此類有關身高曲線的比較，請根據答案的其餘部分作出判斷。

2.其他錯誤答案，例如：雖然問題是問圖表顯示了什麼，但答案卻沒提及圖表特點。

‧女孩較快成熟。

‧女比男先經歷青春期，較早達成長高峰。

‧12歲後，女孩便成長得不多。【指出12歲後女孩成長減慢，亦未提及圖表的特點】

‧沒有作答

答題解析／何明老師

PISA數學題目使用四種題型：選擇題、多重是非題、封閉式問答題及開放式問答題。

開放式問答題主要的目的在於應試者除了給予答案外，更必須提出自己的觀點、推論的過程及根據。本題的「問題三」即屬於此類題目。

問題1：

只是簡單數字計算，應試同學應可輕鬆拿分。

問題2：

只要說明11-13歲之間女性身高較高即可。

問題3：

應試者必須先看懂『身高—年齡圖』然後藉由圖形給予的資訊為根據，用自己的話來解釋此圖表如何呈現12歲女性生長速率變慢。

不管是否使用數學或日常用語，都須提及圖表中12歲後女性身高曲線的變化，如斜率變緩、曲線較12歲前平緩或以實際數據說明以歲為分界，指出12歲前女生身高的變化量較12歲後為大。

如果回答沒有以圖表為基礎，或未提及圖表中女性曲線變化，均屬「零分」的回答。

‧試題來源：OECD、台灣PISA國家研究中心

‧PISA國家研究中心網址：http://pisa.nutn.edu.tw/

【2013-04-29/聯合報】